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Calcular diferentes unidades de engranajes: las fórmulas más importantes para los engranajes

Dado que es de gran importancia en el diseño de los engranajes que las ruedas dentadas implicadas se acoplan correctamente y se minimiza el desgaste, se deben realizar varios cálculos básicos. Los términos como módulo, diámetro de paso y número de dientes desempeñan un papel importante en este caso. En este artículo, tratamos los aspectos más importantes del cálculo de engranajes y qué hay que considerar al calcular las unidades de engranajes.

Parámetros importantes para el cálculo de engranajes

Deben observarse muchos parámetros y determinarse las dimensiones en la construcción del engranaje para adaptar la geometría del engranaje idealmente a los requisitos de la aplicación posterior.

Los parámetros para la geometría del engranaje son:

Distancia entre ejes a
Relación de engranajes i
Módulo m
Pasos
Recuento de dientes e
Diámetro del paso d_w
Diámetro de la raíz d_f
Diámetro de la punta d_a

El módulo de las ruedas dentadas

El módulo (plural: módulo) es una dimensión utilizada para el cálculo de engranajes, que se especifica en milímetros y se estandariza según DIN 780.

El módulo mide el tamaño de los dientes de las ruedas dentadas.

Al diseñar los emparejamientos de ruedas dentadas, debe procurarse utilizar únicamente ruedas dentadas con el mismo módulo. El módulo se calcula de la siguiente manera:

m=\frac{ p }{ \pi } = \frac{ d_{w} }{ z } = \frac{ d_{a} }{ (z+2) }

3 diámetros de rueda dentada diferentes

Al calcular la rueda dentada, tres variables importantes son relevantes para el diámetro.

El diámetro de la punta del diente d_a

El diámetro del círculo de la punta d_a denota el diámetro que recorre las puntas de los dientes de una rueda dentada. Se debe al diámetro del paso y a la altura de la cabeza.

d_{a}= d_{w} + 2 \times m

d_{a}= m \times (z+2)

El diámetro de la raíz d_f

El diámetro de la raíz d_f denota el diámetro que recorre la raíz del diente de una rueda dentada. Se debe al diámetro del paso y a la altura de la raíz.

d_{ f } = d - 2h_{f}

El diámetro de paso d_w

El diámetro de paso d_w describe una línea imaginaria que se extiende entre el diámetro de la punta y el diámetro de la raíz. El diámetro de paso es una dimensión firmemente definida de una rueda dentada y se puede utilizar para determinar el espaciado axial.

d_{ w } = m \times z

Separación axial de las ruedas dentadas en un engranaje

La separación axial a define la distancia entre los dos puntos centrales de las dos ruedas dentadas y resulta de los diámetros de paso de las dos ruedas dentadas (d_f,1, d_f,2).

a = \frac {d_{f,1} + d_{f,2}} {2}

a = \frac {z_{1} + z_{2}} {2} \times m

Distancia de los dientes de las ruedas dentadas en los engranajes

El recuento de dientes z indica cuántos dientes individuales hay en la superficie de engrane de la rueda dentada. Se deriva del diámetro de paso y del módulo.

z = \frac {d_{a} + 2m} { m }

Cálculo de las unidades de engranajes

Combinar dos o más ruedas dentadas es la forma más sencilla de una unidad de engranajes. Los parámetros más importantes de todos los tipos de unidades de engranajes incluyen la relación de engranajes y la eficiencia.

Relación de engranajes de las unidades de engranajes

Una de las principales características de las unidades de engranajes es lograr una conversión de la velocidad de entrada (accionamiento) en una velocidad de salida (salida). Esta propiedad se denomina relación de transmisión y, dependiendo del dimensionamiento de las ruedas dentadas, puede ser mayor que la velocidad de entrada (relación de transmisión) o menor que la velocidad de entrada (relación de reducción).

La relación de transmisión i puede expresarse como la relación de la velocidad de accionamiento n_an y la velocidad de salida n_ab.

i = \frac {n_{an} } { n_{ab} }

Alternativamente, la relación de transmisión puede determinarse mediante el uso del recuento de dientes (z_an, z_ab) o el diámetro de paso (d_an, d_ab).

i = \frac {z_{ab} } { z_{an} } = \frac {d_{ab} } { d_{an} }

En el caso de las unidades de engranajes de varias etapas, las relaciones de transmisión de las etapas individuales se multiplican entre sí y, en última instancia, dan como resultado una relación de transmisión general de i_ges para las etapas 1, 2, n.

i_{ges} = \frac {n_{an, 1} } { n_{ab, 1} } \times \frac {n_{an, 2} } { n_{ab, 2} } \times \frac {n_{an, n} } { n_{ab, n} } = {i_{1} } \times { i_{2} } \times i_{n}

Calcular la eficiencia

La eficiencia η de una unidad de engranajes se define como la relación de la potencia utilizable P_Nutz y la potencia suministrada P_Zu. La diferencia entre la potencia utilizable y la suministrada se pierde principalmente como energía térmica, que es causada por la fricción entre los materiales de los componentes de la unidad de engranajes. Cuanto mayor sea la fricción deslizante entre las ruedas dentadas, los cojinetes y los ejes, menor será la eficiencia de la unidad dentada.

\eta = \frac {P_{Nutz} } { P_{Zu} }

En el caso de las unidades de engranajes multietapa, la eficiencia de las etapas individuales se multiplica entre sí y, en última instancia, da como resultado una eficiencia general de η_ges para las etapas 1, 2, n.

\eta_{ges} = \frac {P_{Nutz, 1} } { P_{Zu, 1} } \times \frac {P_{Nutz, 2} } { P_{Zu, 2} } \times \frac {P_{Nutz, n} } { P_{Zu, n} } = {\eta_{1} } \times { \eta_{2} } \times \eta_{n}

Ejemplo de cálculo sencillo para transmisiones de engranajes

Una situación común para el uso de transmisiones de engranajes es una distancia determinada entre dos ejes en la que se transmitirá una fuerza en una relación de transmisión determinada.

El siguiente ejemplo de cálculo, con valores prácticos, se basa en un dimensionamiento simplificado. El objetivo es el cálculo de los parámetros de diseño de la rueda motriz y la rueda de salida.

En la práctica, los valores exactos no son realistas; por lo tanto, los parámetros se indican con una tolerancia del 5 %.
Todas las unidades de longitud se expresan en milímetros [mm].
El cálculo de la transmisión por engranajes depende de la experiencia de las aplicaciones prácticas. Siga los consejos al diseñar la unidad de engranajes.
La fuerza suele transferirse de la rueda dentada grande (rueda motriz) a la rueda dentada más pequeña (rueda de salida).
El índice 1 pertenece a la rueda motriz grande (p. ej., d_w,1).
El índice 2 pertenece a la rueda de salida más pequeña (p. ej., d_w,2).

Se proporciona lo siguiente:

La relación de transmisión i = 1,9 ... 2.1: la transmisión deseada es 2.
La distancia axial a = 33,25 mm... 36,75 mm: la distancia axial real es de 35 mm.
El número mínimo de dientes de la rueda dentada más pequeña z_{2, mín} = 11.
Constante para la holgura de la punta k=1,25.

Consejo: Siempre proporcione al menos 11 dientes. De lo contrario, se produce desgaste porque las ruedas dentadas no se acoplan entre sí exactamente.

Se buscan los parámetros de diseño necesarios:

La distancia axial real.
Los diámetros del paso, la raíz y el diámetro de la punta.

En primer lugar, se calcula el recuento de dientes del accionamiento.

Para ello se utiliza el recuento de dientes z₂ especificado de la salida. Debido a la tolerancia, utilizamos el límite inferior de la transmisión una vez y el límite superior una vez.

Primero el límite inferior:

z_{1,min} = 11 \times 1.9

z_{1,min} = 20.9

A continuación, el límite superior:

z_{1,max} = 11 \times 2.1

z_{1,max} = 23.1

El recuento de dientes siempre está en números enteros y se redondea hacia arriba o hacia abajo en consecuencia. Además, siempre seleccionamos recuentos de dientes impares.

Consejo: Un número primo de dientes (número primo) es particularmente ventajoso, lo que mejora la durabilidad de la unidad de engranajes.

Por lo tanto, seleccionamos el emparejamiento del recuento de dientes z₁ = 23 y z₂ = 11.

Calculamos el módulo a partir del recuento de dientes y la distancia axial

Con este fin, cambiamos la fórmula de la distancia axial y utilizamos los valores para z₁ = 23 y z₂ = 11, así como la distancia axial real a = 35 mm:

m = \frac {2 \times 35 \mathrm{mm}}{23 + 11}

m = 2.06 \mathrm{mm}

Seleccionamos el módulo con 2 mm.

Debe determinarse la relación de transmisión real y la distancia axial

Debido al redondeo hacia arriba o hacia abajo del número de dientes z₁ = 23 y z₂ = 11, debe asegurarse de que la relación de engranajes real y la distancia axial sigan estando dentro de las tolerancias especificadas.

La relación de transmisión real:

i_{tat} = \frac{23}{11}

i_{tat} = 2.09

La relación de transmisión real está dentro de la tolerancia. Este cálculo se puede continuar.

La distancia axial real:

a = \frac {23 + 11} {2} \times 2 \mathrm{mm}

a = 34 \mathrm{mm}

La distancia axial real también está dentro de la tolerancia.

Ahora los parámetros de diseño de las ruedas dentadas se pueden calcular con las fórmulas conocidas

Los diámetros de la raíz y de la punta dependen de los diámetros del paso. Por lo tanto, los diámetros de paso respectivos se calculan primero.

El diámetro de paso de la rueda motriz con el módulo m = 2 mm y z₁ = 23:

d_{ w,1 } = 2 \mathrm{mm} \times 23

d_{ w,1 } = 46 \mathrm{mm}

El diámetro de paso de la rueda de salida con el módulo m = 2 mm y z₂ = 11:

d_{ w,2 } = 2 \mathrm{mm} \times 11

d_{ w,2 }= 22 \mathrm{mm}

El diámetro de la raíz de la rueda de entrada con la holgura de la punta k=1,25:

d_{ f,1 } = 46 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}

d_{ f,1 } = 41 \mathrm{mm}

El diámetro de la raíz de la rueda de salida con la holgura de la punta k=1,25:

d_{ f ,2} = 22 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}

d_{ f ,2} = 17 \mathrm{mm}

El diámetro de la punta de la rueda de entrada:

d_{a,1} = 2 \mathrm{mm} \times (23 + 2)

d_{a,1} = 50 \mathrm{mm}

El diámetro de la punta de la rueda de salida:

d_{a,2} = 2 \mathrm{mm} \times (11 + 2)

d_{a,2} = 26 \mathrm{mm}

Las ruedas dentadas completamente diseñadas

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