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Cálculo del centro de masa con ejemplos
Calcular el centro de masa es un paso importante en muchas tareas de ingeniería mecánica y en el diseño de máquinas y componentes. El centro de masa indica dónde se concentra el peso de un cuerpo y, por lo tanto, permite determinar las fuerzas y los momentos en el sistema. En este artículo se exploran los aspectos básicos del cálculo del centro de masa y proporciona algunos ejemplos del mundo real.
¿Cuál es el centro de masa?
El centro de masa o centro de gravedad es donde se concentra todo el peso de un cuerpo. Se determina por la ubicación de todas las masas individuales dentro del sistema y sus distancias al punto de origen.
El centro de masa es el “punto de ataque” para la gravedad. El objeto se comporta como una masa de puntos en el campo gravitacional.
Importante: el centro de masa también puede estar fuera del cuerpo. Por ejemplo, en las conchas hemisféricas. Un par de torsión es ineficaz cuando se ejerce en el centro de gravedad.
Para los cuerpos homogéneos (es decir, igual densidad en todas partes), el centro de masa corresponde al centro geométrico de gravedad (centro de volumen): estos cuerpos se denominan masas individuales triviales. Por lo tanto, el centro de gravedad de los cuerpos homogéneos es más fácil de determinar.
Lo opuesto a los cuerpos homogéneos se denomina cuerpos inhomogéneos: tienen diferentes densidades en las secciones del cuerpo. No se pueden considerar masas individuales. Dichos cuerpos deben dividirse en masas individuales adecuadas, calcularse individualmente y, en última instancia, conciliarse en todo el sistema.
El centro de cálculo de masas es importante en muchas aplicaciones de ingeniería.
Un ejemplo es el diseño de una máquina y sus componentes: aquí, el centro de gravedad de los componentes debe seleccionarse de manera que la máquina en general sea estable y segura y cuyos componentes estén correctamente “equilibrados”.
Métodos para calcular el centro de masa
Existen varios métodos para determinar el centro de masa en función de la geometría y de cómo se distribuye la masa (densidades) en el sistema.
- En cuerpos homogéneos, el centro de volumen puede seleccionarse como centro de gravedad, siempre que todas las densidades se distribuyan uniformemente.
- Para los cuerpos inhomogéneos, el centro de masa debe determinarse teniendo en cuenta todas las densidades puntuales.
Generalmente, el centro de gravedad puede calcularse como la suma de todas las submasas, multiplicada por sus respectivas distancias al origen, dividida entre la masa total. El cuerpo se descompone en un número finito de subcantidades.
Los programas CAD modernos o programas FEM (método de elemento final) ofrecen tales métodos de cálculo para el centro de masa como características estándar.
Centro de masa y centro de volumen
El centro de volumen no tiene en cuenta la masa o densidad del cuerpo. Por lo tanto, el centro de volumen es un caso especial del centro de masa, dada la densidad distribuida uniformemente en el objeto.
El cálculo del centro de masa puede simplificarse para cuerpos homogéneos.
Esfuerzo y utilidad de los cálculos
Una división adecuada en masas individuales no siempre es trivial, especialmente para densidades distribuidas de forma no uniforme. Estos problemas pueden resolverse de forma computacional y experimental. Se espera que la precisión del resultado dependa de la profundidad de cálculo viable o de la precisión de la medición. Los resultados sólo pueden ser aproximados, por lo que hay que sopesar el esfuerzo y el beneficio.
Centro de masa para cuerpos homogéneos
Para cuerpos homogéneos como un cuboide o cilindro, el centro de gravedad puede determinarse fácilmente mediante consideraciones geométricas.
En este caso se pueden utilizar simetrías para simplificar el problema.
El centro de masa coincide con el centro de gravedad geométrico y se calcula fácilmente. En este ejemplo, el centro de masa es simultáneamente el centro del área circular y el área proyectada del rectángulo.
Centro de masa para objetos de forma irregular u objetos inhomogéneos
Para objetos con forma irregular, se debe considerar cada punto (densidad de punto) individualmente, y se debe calcular su contribución a la masa total.
Este enfoque también se denomina integración.
Poliedro con densidad distribuida uniformemente
El centro de gravedad geométrico del cuerpo se calcula dividiendo el cuerpo en cuerpos parciales adecuados. Los centros de gravedad de estos cuerpos parciales se calculan y luego se ponderan sobre la proporción del área o volumen.
El centro de gravedad geométrico es el centro de masa.
Poliedro con densidad distribuida desigualmente
El centro de gravedad geométrico del cuerpo con densidad desigualmente distribuida es idéntico al centro de gravedad geométrico del cuerpo con densidad uniformemente distribuida.
El centro de gravedad geométrico no se encuentra en el centro de masa.
El cuerpo debe descomponerse en cuerpos parciales adecuados y sus centros de gravedad individuales deben determinarse en función de la forma y la densidad distribuida de forma desigual.
El centro de masa se calcula a partir de los cuerpos parciales teniendo en cuenta el volumen corporal y las masas corporales
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - Masa total
- mi - Masa parcial
- (xsi, ysi, zsi): coordenadas del centro de gravedad del cuerpo parcial 1 en el sistema de coordenadas fijado espacialmente (x, y, z)
- (xs, ys, zs): coordenadas del centro de gravedad de todo el objeto en el sistema de coordenadas fijado espacialmente (x, y, z)
Fórmula explícita para el centro de masa
Si se realizan descomposiciones progresivamente más finas, los volúmenes parciales o las masas parciales “se aproximan a cero”. Como resultado, la fórmula de aproximación anterior se convierte en una integral.
Por lo tanto, el centro de gravedad puede determinarse con mucha precisión:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - Masa total
- p(x, y, z) - Densidad local del material
- V - Volumen del componente
Centro de masa para sistemas compuestos
Los sistemas compuestos están formados por varios cuerpos individuales interconectados que tienen cada uno su propio centro de gravedad.
Para encontrar el centro de gravedad común de todos los subobjetos, cada uno de estos puntos debe ponderarse con su masa correspondiente.
Ejemplo de cálculo: Centro de gravedad combinado de 2 subsistemas
Un sistema que consta de dos subsistemas distintos se combina en un centro de gravedad combinado.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 - Masa de cuerpo parcial 1
- (xs1, ys1, zs1): coordenadas del centro de gravedad del cuerpo parcial 1 en el sistema de coordenadas fijado espacialmente (x, y, z)
- m2 - Masa de cuerpo parcial 2
- (xs2, ys2, zs2): coordenadas del centro de gravedad del cuerpo parcial 1 en el sistema de coordenadas fijado espacialmente (x, y, z)
- (xs, ys, zs): coordenadas del centro de gravedad de todo el objeto en el sistema de coordenadas fijado espacialmente (x, y, z)
Determinación experimental del centro de masa
El centro de masa también puede determinarse experimentalmente. Los métodos de medición experimentales tienen algunas ventajas sobre los cálculos puramente teóricos:
- Son independientes del modelo de material,
- consideran automáticamente todas las fuentes de error,
- proporcionan una medición directa que no depende de suposiciones o estimaciones.
Método de oscilación
El método de oscilación se basa en el principio de oscilación armónica. Esto implica suspender un objeto en un cable delgado y hacer que oscile. La velocidad angular se puede calcular midiendo la duración del periodo. La velocidad angular se puede utilizar para determinar la distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa.
| Ventajas: |
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| Desventajas: |
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Método de escala
Este método coloca el objeto que se va a examinar en una báscula de plataforma y mide su peso. A continuación, se realiza el mismo procedimiento con un segundo peso para medir la distancia entre ambos puntos. Al multiplicar la fuerza de peso por la distancia se obtiene una ecuación de momento para determinar el centro de masa.
| Ventajas: |
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| Desventajas: |
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Método de inclinación
El método de inclinación se basa en el principio de estabilidad estática. El objeto que se va a examinar se coloca sobre una superficie plana y se prueba su inclinación moviendo los pesos a diferentes posiciones. El centro de masa también puede determinarse calculando la línea central gravitacional.
| Ventajas: |
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| Desventajas: |
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